已知正四棱锥P-ABCD中， 设正四棱锥P-ABCD的底面变长为a，高位h，因为在正四棱锥P-ABCD中，PA=2 3，所以有 a 2 2+h 2=12，即a 2=24-2h 2．所以正四棱锥P-ABCD的体积为：y=V p-ABCD=1 3 a 2 h=8h-2 3 h 3（h＞0）所以y′=8-2h 2，令y′＞0得0，令y′＜0得h＞2，所以当h=2时正四棱锥P-ABCD的体积有最大值．故答案为2．
如图，已知在正四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点 证明：（1）连接AC，交BD于O，连接OE，正四棱锥P-ABCD，∴O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE∥PA，OE？平面BDE，PA？平面BDE，PA∥平面BDE．（2）连接OP，∵正四棱锥P-ABCD，∴AC⊥BD，OP⊥BD，又∵AC∩PO=O，AC、PO？平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD？平面BDE，平面BDE⊥平面PAC．
如图，已知正四棱锥P-ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥P-ABCD的体积和侧面积． 设底面ABCD的中心为O，边BC中点为E，连接PO，PE，OE（1分）在Rt△PEB中，PB=5，BE=3，则斜高PE=4（2分）在Rt△POE中，PE=4，OE=3，则高PO=7（4分）所以V＝13？SABCD？PO＝13×62×7＝127（6分）S侧面积=12？c？PE=12×4×6×4=48（8分）
