如何求矩阵的最小多项式
矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？ 线性代数 从数量矩阵看特征效应 对于最特殊的数量矩阵 对任意向量 都有， 这似乎是一件显然的事情，不过如果从特征的角度看，这个矩阵有特征方程为 它有 重特征根且为，。
最小多项式的解法 最小多项式(minimal polynomial)是代数数论的2113基本概念之一。由5261Cayley-Hamilton定理，4102A的特征多项式是A的零化多1653项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。最小多项式的求解方法方法：1、先将A的特征多项式在P中作标准分解，找到A的全部特征值2、对的标准分解式中含有的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。例：的最小多项式。解：A的特征多项式为：又故A的最小多项式为扩展资料特征多项式的解法1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。3、试根法分解因式。
求教。】A是n阶方阵，A^2=A，证明：A相似于对角矩阵 证法一：由A^2=A知x^2-x为A的零化多项式，从而A的极小多项式无重根，故A相似于对角阵。证法二：易知r(A)+r(A-E)=n。若r(A)=r，则AX=0的基础解系有n-r个解向量（A-E的线性无关的列向量），即A有n-r个属于特征值0的线性无关的特征向量，同理，A有r个属于特征值1的线性无关的特征向量。总之，A有n个线性无关的特征向量，故A相似于对角阵。
如何理解矩阵合同的充要条件？
矩阵特征值互异是什么意思？ 从数量矩阵看特征效应对于最特殊的数量矩阵对任意向量 都有，这似乎是一件显然的事情，不过如果从特征的角度看，这个矩阵有特征方程为它有 重特征根且为，特征向量只要非零就行。对于更一般的矩阵，我们也可以将之类比为数量矩阵（在相似意义下），只不过是用分块的方式去理解：我们发现，这个矩阵可以限定在特定的子空间上，例如，等效为一个数乘变换总之，特征思想可以理解为—研究一个矩阵在其（不变）子空间上的数乘效应。再回过头看，将 的特征值 直接带入特征多项式：我们会发现，特征化的过程，就是将矩阵“局部”化为零矩阵。而 的某一特征子空间正是—对于最一般的矩阵，可能它不能被对角化，这个时候我们至少可以保证在复数域中，其 形式（准对角形式）的存在。分析方法类似上面的讨论，可以视为对角矩阵的推广。从线性变换看特征多项式正如前文讨论，研究一个矩阵（线性变换），就是看它在各个子空间（不变子）上搞什么动作。假如矩阵 可对角化，也就是说它有 个一维不变子（特征向量），即把限制在每个一维空间上的数乘变换 加起来，就是 对于空间 的整体作用：那么，这种形式，给人的感觉就是那种灵魂被一点一点抽离—，最终剩下一团真空—。反映到。
